例1：一个家庭中有两个小孩，已知至少一个是女孩，问两个都是女孩的概率是多少？（假定生男生女是等可能的）

解：由题意，样本空间为

{(兄，弟),(兄，妹),(姐，弟),(姐，妹)}\{ ( \textbf{兄，弟}) , (兄，妹) , (姐，弟) , (姐，妹) \}

{(兄，妹),(姐，弟),(姐，妹)}\{(兄，妹),(姐，弟),(姐，妹)\}

B={(姐,妹)}{B=\{(\text{姐,妹})\}}

由于事件AA已经发生，所以这时试验的所有可能结果只有三种，而事件BB包含的基本事件只占其中的一种， 所以有

P(B∣A)=13{P(B\mid A)=}\frac13

P(B∣A)表示A发生的条件下,B发生的条件概率.P(B|A)\text{表示}A\text{发生的条件下},B\text{发生的条件概率}.

在这个例子中, 若不知道事件AA发生，则事件BB发生的概率为P(B)=14{P(B)=\frac14}

这里P(B)≠P(B∣A)P(B)\neq P(B\mid A)

其原因在于事件AA的发生改变了样本空间，使它由原来的SS缩减为新的样本空间SA=AS_{_A}=A

条件概率的图示分析：

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P(B∣A)=P(AB)P(A)P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}

理解为BB在AA中所占的比例

一、条件概率定义

P(B∣A)=P(AB)P(A),P(A)≠0{P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}},\quad P(A)\neq0

这个式子 P(B∣A)=P(AB)P(A)P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} 就是用联合概率 P(AB)P(AB) 除以先验概率 P(A)P(A)，得到在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。这是条件概率的一般定义方式，表达了在已知或考虑事件 A 发生的情况下，事件 B 的相对概率。

条件概率P(B∣A)P(B|A)是在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。在这种情况下，我们关心的是 A 和 B 同时发生的概率相对于 A 发生的概率的比例，因此我们使用了P(AB)/P(A)P(AB)/P(A)。

性质：P(∙∣A){P\left(\bullet\mid A\right)}是概率

  1. 非负性：P(B∣A)≥0;P(B\mid A)\geq0;
  2. 规范性：P(S∣A)=1;P(S\mid A)=1;
  3. 可列可加性：B1,B2,…,BiBj=∅,i≠j,B_1,B_2,\ldots,B_iB_j=\varnothing,i\neq j,

则P(⋃i=1∞Bi∣A)=∑i=1∞P(Bi∣A).\displaystyle P(\bigcup_{i=1}^\infty B_i\mid A)=\sum_{i=1}^\infty P(B_i\mid A).

P(∙∣A)具有概率的所有性质.例如:P(B∣A)=1−P(B‾∣A)P(B∪C∣A)=P(B∣A)+P(C∣A)−P(BC∣A)B⊃C⇒P(B∣A)≥P(C∣A)\begin{aligned} &P(\bullet\mid A)\textbf{具有概率的所有性质}. \\ &\textbf{例如:}P(B\mid A)=1-P(\overline{B}\mid A) \\ &\begin{aligned}P(B\cup C\mid A)=P(B\mid A)+P(C\mid A)-P(BC\mid A)\end{aligned} \\ &\begin{aligned}B\supset C\Rightarrow P(B\mid A)\geq P(C\mid A)\end{aligned} \end{aligned}

例2：对某地区调查了1439人,研究吸烟与患呼吸道疾病之间的关系.数据如右

解：在这1439人中随机选一人，设AA表示吸烟，BB表示患病

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则P(A)=7251439=0.504,P(B)=3941439=0.274,\begin{aligned}\text{则}P(A)=&\frac{725}{1439}=0.504,\\P(B)=&\frac{394}{1439}=0.274,\end{aligned}

P(AB)=320/1439=0.222,P(B∣A)=320/725=0.441,P(B∣A‾)=74/714=0.104. \begin{gathered}P(AB)=320/1439=0.222, \\P(B\mid A)=320/725=0.441, \\P(B\mid\overline{A})=74/714=0.104. \end{gathered}

二、乘法公式

当下面的条件概率都有意义时：

P(AB)=P(A)⋅P(B∣A)=P(B)⋅P(A∣B)P(ABC)=P(A)P(B∣A)P(C∣AB)P(A1A2⋯An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)⋅⋅⋅P(An∣A1⋅⋅⋅An−1)\begin{aligned}&\begin{aligned}P(AB)=P(A)\cdot P(B\mid A)=P(B)\cdot P(A\mid B)\end{aligned} \\&\begin{aligned}P(ABC)=P(A)P(B\mid A)P(C\mid AB)\end{aligned} \\&P(A_1A_2\cdots A_n)= \\&P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1A_2)\cdotp\cdotp\cdotp P(A_n\mid A_1\cdotp\cdotp\cdotp A_{n-1})\end{aligned}

例3:P(A)=1/4,P(B∣A)=1/3,P(A∣B)=1/2,求 P(A∪B),P(Aˉ∣A∪B).\begin{gathered}\textbf{例3:}P(A)=1/4,P(B\mid A)=1/3,P(A\mid B)=1/2,\\\textbf{求 }P(A\cup B),P(\bar{A}\mid A\cup B).\end{gathered}

解:P(AB)=P(A)P(B∣A)=1/12.P(AB)=P(A∣B)P(B)⇒P(B)=1/6\displaystyle \begin{aligned}\textbf{解:}&P(AB)=P(A)P(B\mid A)=1/12.\\&P(AB)=P(A\mid B)P(B)\Rightarrow P(B)=1/6\end{aligned}

P(A∪B)=16+112+112=13=14+16−112\displaystyle P(A\cup B)=\frac16+\frac1{12}+\frac1{12}=\frac13=\frac14+\frac16-\frac1{12}

P(A‾∣A∪B)=1−P(A∣A∪B)=1−1/41/3=14.\displaystyle P(\overline{A}\mid A\cup B)=1-P(A\mid A\cup B)=1-\frac{1/4}{1/3}=\frac14.

例4：一盒中有5个红球，4个白球，采用不放回抽样，每次取一个，取3次:

(1)求前两次中至少有一次取到红球的概率;

(2)已知前两次中至少有一次取到红球，求前两次中恰有一次取到红球的概率;

(3)求第1，2次取到红球第3次取到白球的概率

解：令Ai={第i次取到红球}A_{i}=\{第i次取到红球\}，i=1,2,3i=1,2,3

B={前两次至少有一次取到红球}B=\{前两次至少有一次取到红球\}

C={前两次恰有一次取到红球}C=\{前两次恰有一次取到红球\}

(1)P(B)=1−P(B‾)=1−P(A‾1)P(A‾2∣A‾1)=1−49×38=56.P(B)=1-P(\overline{B})=1-P(\overline{A}_{1})P(\overline{A}_{2}\Big|\overline{A}_{1})=1-\frac{4}{9}\times\frac{3}{8}=\frac{5}{6}.

(2)P(C∣B)=1−P(C‾∣B)=1−P(BC‾)P(B)=1−P(A1A2)P(B)=23.P(C\big|B)=1-P(\overline{C}\big|B)=1-\frac{P(B\overline{C})}{P(B)}=1-\frac{P(A_{1}A_{2})}{P(B)}=\frac{2}{3}.

(3)P(A1A2A‾3)=P(A1)P(A2∣A1)P(A‾3∣A1A2)=59×48×47=1063.P(A_{1}A_{2}\overline{A}_{3})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(\left.\overline{A}_{3}\right|A_{1}A_{2})=\frac{5}{9}\times\frac{4}{8}\times\frac{4}{7}=\frac{10}{63}.

例5: 某人参加某种技能考核，已知第1次参加能通过的概率为60%:若第1次未通过，经过努力，第2次能通过的概率为70%;若前二次未通过，则第3次能通过的概率为80%。求此人最多3次能通过考核的概率。

解：令Ai={第i次通过考核}，i=1,2,3A_{i}=\{第i次通过考核\}，i=1,2,3

A={最多三次通过考核}A=\{最多三次通过考核\}

则A‾=A‾1A‾2A‾3\overline{A}=\overline{A}_1\overline{A}_2\overline{A}_3

P(A)=1−P(A‾)=1−P(A‾1A‾2A‾3) =1−P(A‾1)P(A‾2∣A‾1)P(A‾3∣A‾1A‾2)=1−0.4×0.3×0.2=0.976.\begin{aligned}P(A)& =1-P(\overline{A})=1-P(\overline{A}_{1}\overline{A}_{2}\overline{A}_{3})  \\&=1-P(\overline{A}_{1})P(\overline{A}_{2}\mid\overline{A}_{1})P(\overline{A}_{3}\mid\overline{A}_{1}\overline{A}_{2}) \\&=1-0.4\times0.3\times0.2=0.976.\end{aligned}

宋浩课程补充

定义：Ω\Omega样本空间，A,BA,B两个事件P(B)>0P(B)>0，在BB已经发生的条件下AA发生的概率，AA对BB的条件概率P(A∣B)P(A|B)

P(A)P(A)无条件概率→→样本空间Ω\Omega

P(A∣B)P(A|B)条件概率→B=ΩB\rightarrow B=\Omega_{B}

  1. P(A∣B)=nABnB\displaystyle P(A|B)=\frac{n_{AB}}{n_B}
  2. P(A∣B)=nAB/nnB/n=P(AB)P(B)\displaystyle P(A|B)=\frac{n_{AB/n}}{n_{B/n}}=\frac{P(AB)}{P(B)}

(1)P(A∣B)≥0(1)P(A|B)\geq0

(2)P(Ω∣B)=1(2)P\left(\Omega|B\right)=1

(3)A,A2⋯An不相容P(∑i=1∞Ai∣B)=∑i=1∞P(Bi∣B)(3)A,A_{2}\cdots A_{n}不相容\\ \displaystyle P(\sum_{i=1}^{\infty}A_{i}|B)=\sum_{i=1}^{\infty}P(B_{i}|B)

乘法公式

P(A∣B)=P(B∣B)P(B)   1◯P(AB)=P(B)P(A∣B)P(A|B)=\frac{P(B|B)}{P(B)}\ \ \ \textcircled{1}P(AB)=P(B)P(A|B)

P(B/A)=P(AB)P(A)   2◯P(AB)=P(B)P(B∣A)P(B/A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\ \ \ \textcircled{2}P(AB)=P(B)P(B|A)

P(A)>0     P(B)>0P(A)>0\ \ \ \ \ P(B)>0

P(A1A2⋅An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)⋯P(An∣A1⋅An−1)P(A_{1}A_{2}\cdot A_{n})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})\cdots P(A_{n}|A_{1}\cdot A_{n-1})

P(ABC)=P(A)P(B∣A)P(C∣AB)P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)

例：（传染病模型）aa红，bb黑，放入cc个颜色相同的球

三次都是红色

解：A1,A2,A3A_1,A_2,A_3表示1，2，3次摸红

P(A1A2A3)=p(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1∣A2)=aa+ba+ca+b+ca+2ca+b+2c\begin{aligned}P(A_{1}A_{2}A_{3})&=p(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}|A_{2})\\&=\frac{a}{a+b}\frac{a+c}{a+b+c}\frac{a+2c}{a+b+2c}\end{aligned}     c=0 放回.c=−1 不放回c>0.\ \ \ \ \begin{aligned}c&=0\ 放回.\\c&=-1\ 不放回\\c&>0.\end{aligned}