全概率公式

在第5讲有一个抽签问题例子:一袋中有a个白球，b个黄球，记a+b=n.设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球，不放回地摸n次.则第k次摸到白球的概率均为a/n现在用另一种方法计算第2次取到白球的概率，

解：设$A$表示第$i$次取到白球，$i=1,2.$

$P(A_{2})=P[(A_{1}\cup\overline{A}{1})A{2}]=P(A_{1}A_{2}\cup\overline{A}{1}A{2})\\ =P(A_1A_2)+P(\overline{A}_1A_2)$

$P(A_{1}A_{2})=P(A_{1})P(A_{2}\big|A_{1}\big)=\frac{a}{n}\times\frac{a-1}{n-1}$

$P(\overline{A}_{1}A_{2})=P(\overline{A}_{1})P(A_{2}\Big|\overline{A}_{1})=\frac{b}{n}\times\frac{a}{n-1}$

$P(A_{2})=P(A_{1})P(A_{2}\Big|A_{1})+P(\overline{A}_{1})P(A_{2}\Big|\overline{A}_{1})=\frac{a}{n}.$

$\begin{aligned}&\text{定义:称}B_1,B_2,\cdots,B_n\text{为S的一个划分,若}\\\\&(i)\text{ 不漏}B_1\cup B_2\cup\cdots\cup B_n=S,\\\\&(ii)\textbf{ 不重 }B_iB_j=\varnothing,i\neq j.\end{aligned}$

$\begin{gathered}\text{定理:设}B_1,B_2,\cdots,B_n\text{为S的一个划分} \\\text{且}P(B_i)>0.\text{ 则有全概率公式}: \\\begin{aligned}P(A)=\sum_{j=1}^nP(B_j)\cdot P(A|B_j)\end{aligned} \end{gathered}$

$\begin{gathered}\text{证明:}A=A\mathrm{S} =AB_{1}\cup AB_{2}\cup\cdots\cup AB_{n} \therefore P(A)=\sum_{j=1}^{n}P(AB_{j}) \\AB_i\text{与}AB_j\text{不相容}(i\neq j) =\sum_{j=1}^{n}P(B_{j})\cdot P(A\mid B_{j}) \end{gathered}$

$\text{设}P(B_j)=p_j,P(A|B_j)=q_j,j=1,2,...,n.$

$\text{则 }\displaystyle P(A)=\sum_{j=1}^np_jq_j.$

注意：在运用全概率公式时,关键是构造合适的划分

$\begin{aligned}&\text{定理:设}B_1,B_2,\cdots,B_n\text{为S的一个划分且}P(B_i)>0.\\&\text{对}P(A)>0\text{有Bayes公式:}\end{aligned}$

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全概率公式

定理1.2 $A_{1}A_{2}\cdots A_{n}$是$E$的完备事件组

$P(A_{i})>0$

$\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})$

完备事件组：

• 互补相容
• 并是$\Omega$

例：四条生产线

解：$A_{1}A_{2},A_{3},A_{4}$产品 $B$：不合格

$\begin{aligned}P(B)=P(A_{1})P(B|A_{1})+P(A_{2})P(B|A_{2})+P(A_{3})P(B|A_{3})+P(A_{4})P(B|A_{4})\\=0.15\times0.05+0.2\times0.04+0.3\times0.03+0.35\times0.02=0.315.\end{aligned}$

例2：10台 3台次（7太正品）已售2台，再取一台是正品的概率

解：B：第三次是正品 $A_0$：两台都是次品 $A_1$：一次一正 $A_2$：2次正品

$\displaystyle P(B)=P(A_{0})P(B|A_{0})+P(A_{1})P(B|A_{1})+P(A_{2})P(B|A_{2})\\=\frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}}\frac{7}{8}+\frac{C_{3}^{1}C_{7}^{1}}{C_{10}^{2}}\frac{6}{8}+\frac{G^{2}}{C_{10}^{2}}\frac{5}{8}=0.7$

例3：10件产品 $次品\begin{cases}0件&1/3\\1件&1/3\\2件&1/3\end{cases}$

产品通过验证的可能性

解：$B$：通过验证 $A_{0},A_{1},A_{2}$：0次 1次 2次 $B_1$：抽是正品 $\overline{B_1}$：抽是次品

$P(A_{0})=\frac{1}{3}P(A_{1})=\frac{1}{3}P(A_{2})=\frac{1}{3}.$

$\displaystyle P(B_{1}|A_{0})=1,\ P(B_{1}|A_{1})=\frac{9}{10},\ P(B_{1}|A_{2})=\frac{8}{10}$

$P(B_{1})=P(A_{0})P(B_{1}|A_{0})+P(A_{1})P(B_{1}|A_{1})+P(A_{2})P(B_{1}|A_{2})=0.9$

$P(\overline{B}_{1})=0.1$

$P(B)=P(B_1)P(B|B_1)+P(\overline{B_1})P(B|\overline{B_1})=0.9\times0.98+0.1\times6.05=0.887$

全概率公式（Law of Total Probability）是概率论中的一条基本定理，用于计算一个事件的概率，通过将该事件在不同条件下发生的概率考虑进去。这个公式通常用于将**边际概率（marginal probability）与条件概率（conditional probability）**联系起来。

如果 $\{B₁, B₂, ..., Bₖ\}$ 是一个样本空间的一个划分（即它们互不相交且并起来构成整个样本空间），那么对于任意事件 A，全概率公式可以表示为：

$P(A) = P(A \cap B₁) + P(A \cap B₂) + \ldots + P(A \cap Bₖ)$

或者写成：

$P(A) = P(A|B₁) \cdot P(B₁) + P(A|B₂) \cdot P(B₂) + \ldots + P(A|Bₖ) \cdot P(Bₖ)$

这里，$P(A)$ 是事件 $A$ 的概率，$P(A|Bᵢ)$ 是在给定条件 $Bᵢ$ 下事件 $A$ 的条件概率，$P(Bᵢ)$ 是事件 $Bᵢ$ 的概率。

全概率公式的核心思想是将事件 A 的概率分解为在每个条件下发生的概率的加权和，权重为相应条件的概率。这对于处理复杂问题，特别是在给定条件下计算概率时，非常有用。

边际概率（Marginal Probability）是指在概率论中，一个事件的概率，不考虑其他事件的发生或者其他变量的取值。边际概率通常是从联合概率（多个变量或事件同时发生的概率）中通过对某些变量或事件进行求和或积分得到的。

对于两个离散随机变量X和Y的联合概率分布P(X, Y)，边际概率可以通过对其中一个变量求和得到。具体而言，对于离散情况，边际概率P(X)可以通过如下方式计算：

$P(X) = \sum_{\text{所有可能的} Y} P(X, Y)$

对于两个连续随机变量X和Y的联合概率密度函数p(x, y)，边际概率可以通过对其中一个变量进行积分得到。具体而言，对于连续情况，边际概率p(x)可以通过如下方式计算：

$p(x) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x, y) \, dy$

边际概率提供了某一变量或事件在不考虑其他变量或事件的情况下的概率分布信息。这对于简化问题、计算特定概率以及理解单个变量的行为非常有用。